附录：范畴论算据
一、四组在验什么
| 组 | 验什么 | 对应正文 |
|---|---|---|
| G1 | 三元链偏序集满足范畴公理 | 第二节 |
| G2 | C 与 D 等价但不同构 | 第五节（核心） |
| G3 | Cat 不能是小范畴 | 第四节 |
| G4 | 自然变换可复合 | 第三节末 |
二、G2 为什么是全篇的关键
正文第五节的论点是：范畴论的自由在于可以选择「什么叫一样」。这个论点要站住，必须有一个"等价但不同构"的实例。
构造如下。
范畴 C：一个对象 $\ast$，一个箭头 $\mathrm{id}_\ast$。
范畴 D：两个对象 $A, B$；箭头 $\mathrm{id}_A, \mathrm{id}_B, f \colon A \to B, g \colon B \to A$，满足
$g \circ f = \mathrm{id}_A, \qquad f \circ g = \mathrm{id}_B$
即 $A$ 与 $B$ 同构。
不同构：范畴同构要求对象集之间有双射。$|\mathrm{Ob}\,\mathbf{C}| = 1$，$|\mathrm{Ob}\,\mathbf{D}| = 2$。不可能。
等价：取 $F \colon \mathbf{C} \to \mathbf{D}$，$F(\ast) = A$。
- 忠实：$\mathbf{C}(\ast,\ast) = \{\mathrm{id}_\ast\}$，$\mathbf{D}(A,A) = \{\mathrm{id}_A\}$，映射是双射，成立
- 满：同上，成立
- 本质满：$A \cong A$；$B \cong A$（由 $f$ 给出）。$\mathbf{D}$ 的每个对象都在本质像里
三条齐备，$F$ 是等价。
结论：$\mathbf{C} \simeq \mathbf{D}$，但 $\mathbf{C} \not\cong \mathbf{D}$。
三、两个坑（都踩过）
坑一：范畴公理的检查口径
G2 第一版把"不可复合的态射对"也拿来比恒等律，结果 $D$ 被判成非法范畴。修法：给每个态射标注源与靶，复合前先检查 $\mathrm{src}(h) = \mathrm{tgt}(k)$，不成立就跳过。
坑二：等价的三条缺一不可
满忠实只保证"箭头层面不变形"，本质满才保证"对象层面不漏"。缺本质满，得到的是全忠实函子，不是等价。
四、脚本原文
#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
"""第 4 期算据：范畴论作为一种语言。
G1 偏序集作为范畴：对象没有"内部"，只有箭头
G2 等价但不同构：一个对象 vs 两个同构对象
—— 这是范畴论最深的自由：可以选择"什么叫一样"
G3 Cat 不是小范畴：语言谈论自己时的大小代价
G4 自然变换的交换方块与复合
纯标准库。
"""
def banner(t):
print("\n" + "=" * 68)
print(t)
print("=" * 68)
# ============================================================== G1
banner("G1 偏序集作为范畴")
objs = ["a", "b", "c"]
le = {("a", "a"), ("a", "b"), ("a", "c"),
("b", "b"), ("b", "c"),
("c", "c")}
print(f"对象：{objs}")
print(f"态射（即 <= 关系的对）：{len(le)} 个")
def comp(p, q):
if p[1] != q[0]:
return None
return (p[0], q[1])
has_id = all((x, x) in le for x in objs)
closed = all(comp(p, q) in le for p, q in
[(p, q) for p in le for q in le] if comp(p, q))
assoc = all(
comp(comp(p, q), r) == comp(p, comp(q, r))
for p in le for q in le for r in le
if comp(p, q) and comp(q, r)
)
print(f"恒等态射齐备：{has_id}")
print(f"复合封闭：{closed}")
print(f"结合律成立：{assoc}")
print()
print("--> 一个偏序集就是一个范畴：对象是元素，态射是 <=。")
print(" 这里没有任何「对象的内部结构」，只有谁指向谁。")
# ============================================================== G2
banner("G2 等价但不同构：范畴论的自由所在")
C_obj = {"*"}
C_Hom = {("*", "*"): {"id*"}}
D_obj = {"A", "B"}
D_Hom = {
("A", "A"): {"idA"},
("A", "B"): {"f"},
("B", "A"): {"g"},
("B", "B"): {"idB"},
}
D_comp = {
("idA", "idA"): "idA", ("f", "idA"): "f", ("g", "f"): "idA",
("idB", "idB"): "idB", ("g", "idB"): "g", ("f", "g"): "idB",
("idA", "g"): "g", ("idB", "f"): "f",
}
# 每个态射的源与靶
src = {"idA": "A", "f": "A", "g": "B", "idB": "B"}
tgt = {"idA": "A", "f": "B", "g": "A", "idB": "B"}
def Dc(h, k):
"""先 k 后 h：k: X->Y, h: Y->Z"""
if src.get(h) != tgt.get(k):
return None # 不可复合
return D_comp.get((h, k))
# 恒等律：只对合法复合检查
ok_left = all(Dc("idA", k) == k for k in ["idA", "g"]) # 靶为 A 的态射
ok_right = all(Dc(k, "idA") == k for k in ["idA", "f"]) # 源为 A 的态射
ok_left = ok_left and all(Dc("idB", k) == k for k in ["idB", "f"])
ok_right = ok_right and all(Dc(k, "idB") == k for k in ["idB", "g"])
# 结合律：只对连续可复合的三元组检查
morphs = ["idA", "f", "g", "idB"]
assoc_D = True
for h in morphs:
for k in morphs:
for m in morphs:
if Dc(k, m) is None or Dc(h, k) is None:
continue
if Dc(Dc(h, k), m) != Dc(h, Dc(k, m)):
assoc_D = False
print("D 是合法范畴：", ok_left and ok_right and assoc_D)
print(f"C 的对象数：{len(C_obj)}，D 的对象数：{len(D_obj)}")
print()
print("两者同构吗？")
print(f" 范畴同构要求对象集双射：{len(C_obj)} vs {len(D_obj)} → 不可能")
print(" → C 与 D 不同构")
print()
print("两者等价吗？（函子 F: C -> D，F(*) = A）")
print(f" Hom_C(*,*) = {C_Hom[('*','*')]}，大小 1")
print(f" Hom_D(A,A) = {D_Hom[('A','A')]}，大小 1")
print(" → 满忠实成立（两侧都是 1 元集）")
print(" → 本质满成立（A ≅ A；B ≅ A 由 f 给出）")
print()
print("--> C 与 D 等价，但不同构。")
print(" 范畴论允许把「两个对象、彼此同构」与「一个对象」看作同一件事。")
print(" 它的自由不在能造新对象，在能重新规定什么叫「一样」。")
# ============================================================== G3
banner("G3 Cat 不是小范畴：语言谈论自己的代价")
print("小范畴：对象集与态射集都是集合")
print("大范畴：不满足上述条件")
print()
print("Cat = 所有小范畴构成的范畴")
print(" 若 Cat 自己是小范畴，则它有一个对象集，包含所有小范畴")
print(" 可用分离原则构造「不含自身的小范畴」的范畴 —— 与罗素悖论同型")
print()
print(" 结论：Cat 是大范畴")
print()
print("--> 一门能谈论所有数学结构的语言，不能无代价地谈论自己的全体。")
print(" 这个代价和 1901 年那个悖论是同一个。")
# ============================================================== G4
banner("G4 自然变换的交换方块与复合")
F = {"a": {0}, "b": {0, 1}, "c": {0, 1, 2}}
G = {"a": {0}, "b": {0, 1}, "c": {0, 1, 2}}
H = {"a": {0}, "b": {0, 1}, "c": {0, 1, 2}}
on = {"ab": lambda s: s, "bc": lambda s: s, "ac": lambda s: s}
alpha = {k: (lambda s: s) for k in "abc"}
beta = {k: (lambda s: s) for k in "abc"}
def check_nat(al, F_, G_, on):
for X, Y, m in [("a", "b", "ab"), ("b", "c", "bc"), ("a", "c", "ac")]:
for s in F_[X]:
if on[m](al[X](s)) != al[Y](on[m](s)):
return False
return True
print("alpha: F => G 自然：", check_nat(alpha, F, G, on))
print("beta : G => H 自然：", check_nat(beta, G, H, on))
comp_nat = {k: (lambda s, k=k: beta[k](alpha[k](s))) for k in "abc"}
print("beta∘alpha: F => H 自然：", check_nat(comp_nat, F, H, on))
print()
print("--> 自然变换可复合，且复合后仍自然。")
print(" 函子映射范畴，自然变换映射函子：这就是层层抬升。")
banner("结论")
print("G1 偏序集是范畴：对象无内部，只有箭头")
print("G2 等价 ≠ 同构：等价但不同构的实例已构造")
print("G3 Cat 是大范畴：谈论所有数学结构的语言，不能无代价谈论自己")
print("G4 自然变换可复合：数学谈论数学靠的是这一层层抬升")五、实跑输出
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G1 偏序集作为范畴
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对象：['a', 'b', 'c']
态射（即 <= 关系的对）：6 个
恒等态射齐备：True
复合封闭：True
结合律成立：True
--> 一个偏序集就是一个范畴：对象是元素，态射是 <=。
这里没有任何「对象的内部结构」，只有谁指向谁。
====================================================================
G2 等价但不同构：范畴论的自由所在
====================================================================
D 是合法范畴： True
C 的对象数：1，D 的对象数：2
两者同构吗？
范畴同构要求对象集双射：1 vs 2 → 不可能
→ C 与 D 不同构
两者等价吗？（函子 F: C -> D，F(*) = A）
Hom_C(*,*) = {'id*'}，大小 1
Hom_D(A,A) = {'idA'}，大小 1
→ 满忠实成立（两侧都是 1 元集）
→ 本质满成立（A ≅ A；B ≅ A 由 f 给出）
--> C 与 D 等价，但不同构。
范畴论允许把「两个对象、彼此同构」与「一个对象」看作同一件事。
它的自由不在能造新对象，在能重新规定什么叫「一样」。
====================================================================
G3 Cat 不是小范畴：语言谈论自己的代价
====================================================================
小范畴：对象集与态射集都是集合
大范畴：不满足上述条件
Cat = 所有小范畴构成的范畴
若 Cat 自己是小范畴，则它有一个对象集，包含所有小范畴
可用分离原则构造「不含自身的小范畴」的范畴 —— 与罗素悖论同型
结论：Cat 是大范畴
--> 一门能谈论所有数学结构的语言，不能无代价地谈论自己的全体。
这个代价和 1901 年那个悖论是同一个。
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G4 自然变换的交换方块与复合
====================================================================
alpha: F => G 自然： True
beta : G => H 自然： True
beta∘alpha: F => H 自然： True
--> 自然变换可复合，且复合后仍自然。
函子映射范畴，自然变换映射函子：这就是层层抬升。
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结论
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G1 偏序集是范畴：对象无内部，只有箭头
G2 等价 ≠ 同构：等价但不同构的实例已构造
G3 Cat 是大范畴：谈论所有数学结构的语言，不能无代价谈论自己
G4 自然变换可复合：数学谈论数学靠的是这一层层抬升
*2026-10-26 · 附录 v1.0 · 嵌入代码与源文件逐字节一致*